My All Garbage | Biggest Website for Educational Support in BD

গাণিতিক যুক্তি সরল ও যৌগিক মুনাফা (Simple & Compound Interest) প্রাথমিক আলোচনা পাটিগণিত > সরল ও যৌগিক মুনাফা সরল ও যৌগিক মুনাফা : প্রাথমিক আলোচনা সরল মুনাফা সমস্যার সমাধান - ১ সরল মুনাফা সমস্যার সমাধান - ২ সরল মুনাফা সমস্যার সমাধান - ৩ যৌগিক/চক্রবৃদ্ধি মুনাফা সমস্যার সমাধান - ১ সুদ/মুনাফা কে মোট দু ভাগে ভাগ করা যায়। যথা : সরল সুদ/Simple Interest : শুধু মূলধনের উপর সুদ কিন্তু সুদের সুদ না। তাই এখানে আসল কখনো বাড়ে না। চক্রবৃদ্ধি সুদ/যৌগিক সুদ/Compound Interest : মূলধনের সুদের পাশাপাশি সুদের টাকার উপর পুনরায় সুদ। অর্থাৎ সুদের সুদ। সরল মুনাফা (Simple Interest) সুদকষার গাণিতিক সমস্যাগুলো অনেকের কাছে জটিল মনে হলেও প্রকৃতপক্ষে এই অধ্যায়টি অনেক সহজ, এমনকি এই অধ্যায়ের কিছু সমস্যা খাতা-কলম ছাড়াই করা সম্ভব। কিভাবে সম্ভব তা বোঝার জন্য নিচের আলোচনাগুলো খুব মনোযোগ সহকারে ধাপে ধাপে বোঝার চেষ্টা করতে হবে। সুদ/মুনাফা কাকে বলে? আসল বা মূলধনের উপরে যে অতিরিক্ত টাকা প্রদান করা হয়। সুদ/মুনাফা নির্ণয়ের সূত্র,...

কোণ (Angle) জ্যামিতিতে ভাল করতে হলে জ্যামিতির মৌলিক বিষয়বস্তুর উপর খুব ভালোভাবে ধারণা থাকতে হবে। কোণ বা Angle তেমনিভাবে জ্যামিতির অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ও মৌলিক একটি বিষয়। কোণ অংকন করা, চিহ্নিত করা এবং কোণের বর্ণনা ও এদের সঠিক ব্যবহার না জানলে জ্যামিতিতে কোণের উপর ভাল আয়ত্ত্ব রাখতে পারবেন না। আমরা আজকে কোণ কি, এর পরিপূর্ণ সংজ্ঞা, কোণের বৈশিষ্ট্য এবং কোণের বিভিন্ন প্রকারভেদ নিয়ে আলোচনা করব ইনশাআল্লাহ এবং আপনি যদি মনোযোগ সহকারে পুরো কন্টেন্টটি পড়েন তবে কোণ নিয়ে আপনার আর কোনো কনফিউশান থাকবে না আশা করা যায়৷  সাধারণ অর্থে কোণ বলতে কোণা (গ্রাম্য ভাষায় যাকে কানাকানি) বুঝায়। যেমন: টেবিলের কোণা, ঘরের কোণা, ছাদের কোণা ইত্যাদি। খেয়াল করলে দেখবেন এই কোণা যেখানে উৎপন্ন হয় সেটি মূলত ২ টি বাহু মিলনস্থল। সুতরাং, দুটি বাহু কোনো একটি জায়গা বা বিন্দুতে মিলিত হলল তাকে কোণা বা কোণ বলে।  কোণের ইংরেজি শব্দ Angle যার বাংলা আভিধানিক অর্থ দাঁড়ায় কোণ। কোণ সম্পর্কে ভালোভাবে জানতে হলে আপনার রেখা, রশ্মি কিংবা রেখাংশ সম্পর্কে ভালো ধারণা থাকতে হবে। এজন্য আমাদের র...

রেখা (Line) জ্যামিতি বিষয়ে ভালো করতে হলে আপনাকে জ্যামিতির ব্যাসিক সম্পর্কে ট্রং হতে হবে। জ্যামিতির সকল খুঁটিনাটি বিষয়বস্তু এবং পরীক্ষায় আসে এমন গুরুত্বপূর্ণ সকল তথ্যের সমাহার থাকছে আমাদের জ্যামিতি নিয়ে এই আয়োজনে। আমরা রেখা, কোণ, ত্রিভূজ, চর্তুভূজ ও বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য এবং পরিমিতির সরলক্ষেত্র ও ঘনবস্তু প্রতিটা বিষয়ের উপর আলাদা আলাদা কনটেন্ট তৈরি করে আপনার কনসেপ্ট ক্লিয়ার চেষ্টা করব ইনশাআল্লাহ।  শুরুতে যদি আমরা বলি জ্যামিতি কি? অনেকে জানেন আবার অনেকে জানেন না! 'জ্যা' শব্দের অর্থ ভূমি আর 'মিতি' শব্দের অর্থ পরিমাপ। অর্থাৎ, গণিতের যে প্রাচীন শাখা বিভিন্ন নকশা, চিত্র কিংবা স্থানের আকার, আকৃতি ও পরিমাপ সংক্রান্ত পারস্পরিক সম্পর্ক বা তাদের আপেক্ষিক অবস্থান আলোচনা করে তাকে জ্যামিতি বলে।  জ্যামিতির কিছু মৌলিক উপাদান আছে যার উপর ভিত্তি করে এই শাখা প্রতিষ্ঠিত হয়েছে। রেখা, বিন্দু, কোণ, তল এবং ঘনবস্তু ইত্যাদি হচ্ছে জ্যামিতির মৌলিক উপাদান৷  রেখা নিয়ে আলোচনা করতে হলে শুরুতে আমাদের বিন্দু বিষয়ে আলোকপাত করতে হবে৷ কারণ, রেখা উৎপত্তি বা শু...

সম্ভাব্যতা (Probability) বাস্তব জীবনে আমরা সবাই কমবেশি সম্ভাবনা শব্দটির সাথে পরিচিত। আকাশ মেঘের ঘনঘটা দেখে আমরা যেমন বলি বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা খুব বেশি। আবার, কোনো ছেলে যদি তার পড়াশোনাতে অমনোযোগী হয় তখন আমরা বলি তার পরীক্ষায় ভালো রেজাল্ট করার সম্ভাবনা খুব কম। বিসিএস প্রিলির জন্যে খুবই গুরুত্বপূর্ণ একটি অধ্যায় হলো সম্ভাব্যতা (Probability)। হিউজ তথ্যের এই অধ্যায়ের শতভাগ প্রস্তুতির জন্যে সবচেয়ে কম এবং অধিকতর গুরুত্বপূর্ণ সম্ভাব্যতার টপিক নিয়ে আলোচনা থাকবে এই কনটেন্টে।  তাহলে সহজ ভাষায় সম্ভাব্যতা হলো, কোনো একটি ঘটনা ঘটবে নাকি ঘটবেনা তার গাণিতিক পরিমাপ।  বিসিএস প্রিলিতে সম্ভাব্যতা থেকে যেসব অংক এসে থাকে সেসব মূলত ২/৩ টি সূত্রের সাহায্য নিয়েই সমাধান করা যায়। তাই আমরা সম্ভাব্যতার বিস্তারিত আলোচনার পাশাপাশি সর্বশেষে সেই ২/৩ টি সূত্র আলোচনা করব এবং সেসব ব্যবহার করে কয়েকটা অংকের সমাধান করব। সম্ভাব্যতার অংক করতে আমাদের কয়েকটি নতুন টার্মের সাথে পরিচিত হতে হবে। এগুলো যদি ভালোভাবে বুঝতে না পারি তবে অনেকক্ষেত্রে অংক করতে সমস্যা হবে৷ তাহলে চল...

পরিসংখ্যান (Statistics)  বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির অগ্রযাত্রার ক্ষেত্রে তথ্য ও উপাত্তের অবদানের ফলে পৃথিবী পরিণত হয়েছে বিশ্বগ্রামে। তথ্য ও উপাত্তের দ্রুত সঞ্চালন এবং বিস্তারের ফলে সম্ভব হয়েছে বিশ্বায়নের। আর তাই উন্নয়নের ধারা অব্যাহত রাখা ও বিশ্বায়নে অংশগ্রহণ ও অবদান রাখতে হলে আমাদের তথ্য ও উপাত্ত সম্বন্ধে জ্ঞান অর্জন করা আবশ্যক। আর গণিতের শাখা পরিসংখ্যান এই কাজটি করে থাকে। সেজন্যে গণিতে পরিসংখ্যানের গুরত্ব অপরিসীম।   পরিসংখ্যান : পরিসংখ্যান বা Statistics হল ব্যবহারিক গণিতের একটি শাখা যা সংখ্যাত্নক তথ্য সংগ্রহ ও বিশ্লেষণে প্রয়োগ করা হয়।  উপাত্ত : আমরা জানি, গুণবাচক নয় এমন সংখ্যাসূচক তথ্যাবলি পরিসংখ্যানের উপাত্ত অর্থাৎ, সংখ্যার মাধ্যমে প্রকাশিত তথ্যকে উপাত্ত বলে। চলক : আমরা জানি, সংখ্যাসূচক তথ্যাসমূহ পরিসংখ্যানের উপাত্ত। উপাত্তে ব্যবহৃত সংখ্যাসমূহ চলকের মান নির্দেশ করে। পরিসংখ্যানে ব্যবহৃত চলকগুলো ২ ধরনের হয়ে থাকে। যথা— ১. বিচ্ছিন্ন চলক এবং ২. অবিচ্ছিন্ন চলক নিম্নে এগুলো ব্যাখ্যা করা হল : ১. বিচ্ছিন্ন চলক : যে চলকের মান শু...

সেট (Set) সেট শব্দটি আমাদের কাছে অনেক পরিচিত একটি শব্দ। বাস্তব সংখ্যার সেট, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, মূলদ সংখ্যার সেট ইত্যাদি। আধুনিক হাতিয়ার হিসেবে সেটের ব্যবহার ব্যাপক। জার্মান গণিতবিদ জর্জ ক্যান্টর (১৮৪৫-১৯১৮) সেট সম্পর্কে সর্বপ্রথম ধারণা ব্যাখ্যা করেন। তিনি অসীম সেটের ধারণা প্রদান করে গণিত শাস্ত্রে আলোড়ন সৃষ্টি করেন এবং তাঁর সেটের ধারণা “সেট তত্ত্ব” নামে পরিচিত। সেট (Set) : বাস্তব বা চিন্তা জগতের সুসংজ্ঞায়িত বস্তুর সমাবেশকে সেট (Set) বলে। যেমন:  2, 3, 4 সংখ্যা তিনটির সেট A = {2, 3, 4} ১. সেটকে সাধারণত ইংরেজি বর্ণমালার বড় হাতের অক্ষর A, B, C,........ X, Y, Z ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়। ২. সেটের প্রত্যেক বস্তু বা সদস্যকে সেটের উপাদান (element) বলা হয়। যেমন: উপরোক্ত A সেটের উপাদান বা element হচ্ছে 2, 3, 4 ৩. সেটের উপাদান বা element প্রকাশের চিহ্ন $\in$ যাকে পড়া হয় belongs to. যেমন : B={a,b} সুতরাং ‍a $\in$ B এবং b $\in$ B এখানে a belongs to B এবং b belongs to B. সেট B তে c নামের কোনো উপাদান (element) নেই, সুতরাং c $\not\in$...

সূচক Exponent সূচক গণিতে এক বিস্তৃত অধ্যায়। সূচকের সাথে লগারিদমের ভাল মিল আছে। তাই সূচক এবং লগারিদম পাশাপাশি সময়ে শিখলে অনেক সময় বেঁচে যাবেন৷  লগারিদম সূচক শব্দের অর্থ হলো শক্তি। n সংখ্যক a এর ক্রমিক গুণফল।  $a^n$ এখানে, a কে ভিত্তি (base) বলা হয়।  n কে a এর (ভিত্তির) সূচক বলা হয় বলা হয়৷  $a^n$ কে a এর n তম ঘাত বা শক্তি বা 'power' বলা হয়৷  অর্থাৎ, সূচকীকরণ হচ্ছে একটি গাণিতিক প্রক্রিয়া যাকে $a^n$ আকারে প্রকাশ করা হয় যেখানে a কে বলা হয় ভিত্তি (base) এবং n কে বলা হয় সূচক (exponent)। যখন n একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা, সূচকীকরণ প্রক্রিয়া তখন ভিত্তির পুনরাবৃত্ত গুণফল বোঝায় অর্থাৎ $a^n$  হচ্ছে ভিত্তি a কে n সংখ্যক বার গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যায় তার সমান। সূচককে প্রকাশ করার নিয়ম : সূচককে সাধারণত ভিত্তির ডান পাশে উপরে শীর্ষে (superscript) হিসেবে দেখানো হয়। সেক্ষেত্রে, $a^n$ কে n তম সূচক/শক্তিতে উন্নীত a অথবা n এর সূচকে/শক্তিতে উন্নীত a অথবা a এর n তম সূচক/শক্তি অথবা ' a (to the power) n ', অথবা সবচেয়...

অনুপাত–সমানুপাত প্রাথমিক আলোচনা অনুপাত এবং সমানুপাত পাটিগণিতের একটি বৃহত্তর শাখা। ব্যবহারিক এবং বাস্তবিক জীবনে অনুপাত–সমানুপাত বহুল ব্যবহৃত হয়। বিসিএস, ব্যাংক জব, শিক্ষক নিবন্ধন কিংবা যেকোনো সরকারি চাকুরীর নিয়োগ পরীক্ষায় অনুপাত–সমানুপাত থেকে প্রশ্ন করা হয়। আর তাই বরাবরের মতো আপনার জব প্রিপারেশনকে আরো স্ট্রং করতে আজকে অনুপাত–সমানুপাত এর খুঁটিনাটি সবকিছু A to Z আলোচনা করছি। ধরুন, আপনার মাসিক বেতন ২০ হাজার টাকা আর আপনার স্ত্রীর মাসিক বেতন ৪০ হাজার টাকা। তাহলে আপনাদের উভয়ের বেতনের পার্থক্য দুভাবে বুঝানো যাবে। আপনার বেতন আপনার স্ত্রীর তুলনায় অর্ধেক। আপনার স্ত্রী আপনার তুলনায় দ্বিগুণ বেতন পায়। এই যে, একজনের সাপেক্ষে আরেকজনের তুলনা করলাম মূলত এটাই হলো অনুপাত। অর্থাৎ, অনুপাত হচ্ছে দুইটি একই জাতীয় রাশির একটি অপরটির তুলনায় কতগুণ বা কত অংশ তা ভগ্নাংশে প্রকাশ করে। অনুপাত (Ratio) : অনুপাত হচ্ছে এক বা একাধিক রাশির তুলনা যাকে ( : ) চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয় এবং যা একটি ভগ্নাংশকে নির্দেশ করে। যেমন— ৩:৭ = $\frac৩৭$ [ ' : ' চিহ্নটি ...