My All Garbage | Biggest Website for Educational Support in BD

মনে করি, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা যথাক্রমে $2n$ এবং $2n+2$, যেখানে $n$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং $n\in N$ এদের গুণফল $\begin{array}{l}=2n\left(2n+2\right)\\=4n^2+4n\\=4n\left(n+1\right)\end{array}$ এখানে, $n\in N$ এর জন্য $n$ ও $n+1$ ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা। ফলে $n\left(n+1\right)$ একটি জোড় সংখ্যা যা $2$ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং $4n\left(n+1\right)$ রাশিটি $4 \times2$ বা $8$ দ্বারা বিভাজ্য। ∴ দুইটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল 8 (৮ = আট) দ্বারা বিভাজ্য। (প্রমাণিত)

৯ম, ১০ম শ্রেণিতে আমরা অনেকে $ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{11} \ldots \ldots \ldots$ অমূলদ সংখ্যার প্রমাণটি মুখস্ত করে ফেলি। কিছু বুঝি বা না বুঝি। আসুন আজ একটু বুঝে বুঝে পড়ার চেষ্টা করি। বলে রাখি এখানের প্রমাণটি পরীক্ষার খাতায় লিখার জন্য নয় এটি শুধু নিজে বুঝার জন্য। পরীক্ষার খাতায় কিভাবে লিখবেন তা পরে আলোচনা করবো। তাহলে আসুন শুরু করি...... প্রমাণ কর যে, $ \sqrt{2}$ অমূলদ সংখ্যা। আমরা জানি, বাস্তব সংখ্যা দুই প্রকার, যথা (১) মূলদ সংখ্যা       (i) পূর্ণ সংখ্যা       (ii) সমীম ভগ্নাংশ সংখ্যা (২) অমূলদ সংখ্যা অর্থাৎ $ \sqrt{2}$ পূর্ণসংখ্যা, ভগ্নাংশ সংখ্যা, অমূলদ সংখ্যা এই তিনটির যে কোনো একটিতে অবশ্যই হতে হবে। প্রথমেই ধরি, $ \sqrt{2}$ একটি মূলদ সংখ্যা। মূলদ সংখ্যার দুইটি পার্ট (i) পূর্ণ সংখ্যা (ii) সসীম ভগ্নাংশ সংখ্যা। প্রথমে, $ \sqrt{2}$ পূর্ণসংখ্যা কিনা তা প্রমাণ করার চেষ্টা করি, আমরা জানি, স্বাভাবিক পূর্ণ সংখ্যার $N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 \ldots \ldots \...

প্রমাণ কর যে, যেকোনো বিজোড় পূর্ণসংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা। প্রমাণ : মনে করি, $n$ একটি বিজোড় সংখ্যা ∴ $n = 2x - 1$, যেখানে $x~ \in ~Z$ বা, $n^2 = \left ( 2x-1 \right )^{2}$ [ বর্গ করে ] $~~~~~~~~= \left ( 2x \right )^{2}-2.2x.1+1^{2}$ $~~~~~~~~= 4x^{2}-4x+1$ $~~~~~~~~= 4x\left ( x-1 \right )+1$ এখানে, $4x\left ( x-1 \right )$ সংখ্যাটি $2$ দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ জোড় সংখ্যা। আমরা জানি, যেকোনো জোড় সংখ্যার সাথে $1$ যোগ করলে যোগফল একটি বিজোড় সংখ্যা হয়। ∴ $4x\left ( x-1 \right )+1$ সুতরাং যেকোনো বিজোড় পূর্ণ সংখ্যার বর্গ বিজোড় সংখ্যা। [  প্রমাণিত ]