My All Garbage | Biggest Website for Educational Support in BD

 ২৩  একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত $5:12:13$ এবং পরিসীমা $30$ সে.মি. (ক) ত্রিভুজটি অঙ্কন কর এবং কোণ ভেদে ত্রিভুজটি কী ধরনের তা লেখ। (খ) বৃহত্তর বাহুকে দৈর্ঘ্য এবং ক্ষুদ্রতর বাহুকে প্রস্থ ধরে অঙ্কিত আয়তক্ষেত্রের বর্ণের সমান বাহুবিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (গ) উক্ত আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $10\%$ এবং প্রস্থ $20\%$ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে? (ক) নং এর সমাধান মনে করি, ত্রিভুজের বাহুগুলো $5x$, $12x$ ও $13x$ সে.মি. শর্তমতে, $5x+12x+13x=30$ বা, $30x=30$ বা, $x=\frac{30}{30}$ $\therefore x=1$ সুতরাং, বাহুগুলো $5 \cdot 1=5$ সে.মি., $12 \cdot 1=12$ সে.মি. ও $13 \cdot 1=13$ সে.মি. নিচে ত্রিভুজটি অঙ্কন করা হলো: এখানে, $\triangle ABC$ উদ্দিষ্ট্য ত্রিভুজ যার $AB=5$ সে.মি. $AC=12$ সে.মি. ও $BC=13$ সে.মি. এখন, উক্ত ত্রিভুজ এর $BC=13$ বা, $BC^2=13^2$ [উভয় পাশে বর্গ করে] বা, $BC^2=169$ বা, $BC^2=144+25$ বা, $BC^2=12^2+5^2$ $\therefore BC^2=AC^2+AB^2$ দেখা যাচ্ছে যে, ত্রিভুজটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য সমর্থন করে, ত...

 ২৪  একদিন কোনো ক্লাসে অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থী অনুপাত $1:4$ (ক) অনুপস্থিত শিক্ষার্থীদেরকে মোট শিক্ষার্থীর শতকরায় প্রকাশ কর। (খ) $5$ জন শিক্ষার্থীর বেশি উপস্থিত হলে অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থীর অনুপাত হতো $1:9$। মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত? (গ) মোট শিক্ষার্থীর মধ্যে ছাত্র সংখ্যা ছাত্রী সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা $10$ জন কম। ছাত্র ও ছাত্রী সংখ্যার অনুপাত নির্ণেয় কর। (ক) নং এর সমাধান মনে করি, অনুপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যা $x$ এবং উপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যা $4x$ [এখানে, $x$ ধনাত্মক আনুপাতিক ধ্রুবক] $\therefore$ মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা $(x+4x)=5x$ সুতরাং, অনুপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যা মোট শিক্ষার্থীদের সংখ্যার অনুপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যা মোট শিক্ষার্থীদের সংখ্যা $\times 100\%$ $=\left(\frac{x}{5x}\times100\right)\%$ $=20\%$ [Answer] (খ) নং এর সমাধান $5$ জন শিক্ষার্থী বেশি উপস্থিত হলে, উপস্থিত শিক্ষার্থীর সংখ্যা $(4x+5)$ জন এবং অনুপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যা $(x-5)$ জন। প্রশ্নমতে, $\frac{x-5}{4x+5}=\...

 ২৫  আশিক, মিজান, অনিক ও অহনা মোট $132500$ টাকা মূলধন নিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে এবং এক বছর শেষে $26500$ টাকা লাভ হয়। উক্ত ব্যবসায় মূলধনে আশিকের অংশ; মিজানের অংশ $=2:3$, মিজানের অংশ : অনিকার অংশ $=4:5$ এবং অনিকার অংশ : অহনার অংশ $=5:6$ (ক) মূলধনের সরল অনুপাত নির্ণয় কর। (খ) উক্ত ব্যবসায় প্রত্যেকের মূলধন নির্ণয় কর। (গ) বছর শেষে লভ্যাংশের $60\%$ উক্ত ব্যবসায় বিনিয়োগ করা হলো। অবশিষ্ট লভ্যাংশ মূলধনের সরল অনুপাতে বিভক্ত হলে অহনা ও আশিকের লভ্যাংশের মধ্যে কে কত টাকা বেশি লাভ পাবে? (ক) নং এর সমাধান দেওয়া আছে, একটি ব্যবসায় বিনিয়োগকৃত মূলধনে, আশিকের অংশ : মিজানের অংশ $2:3$$=(2 \times 4):(3 \times 4)$$=8:12$ মিজানের অংশ : অনিকের অংশ $4:5$$=(4 \times 3):(5 \times 3)$$=12:15$ অনিকের অংশ : অহনার অংশ $5:6$$=(5 \times 3):(6 \times 3)$$=15:18$ $\therefore$ আশিক : মিজান : অনিক : অহনার মূলধনের অংশ = $8:12:15:18$ [Answer] (খ) নং এর সমাধান ‘ক’ থেকে পাই,  আশিক : মিজান : অনিক : অহনার মূলধনের অংশ = $8:12:15:18$ সুতরাং, অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল $8+12+15+18$$=53$ এখানে, মোট মূলধন $13250...

 ২১  চিত্রে $CD=96$ মিটার (ক) $\angle CAD$ এর ডিগ্রি পরিমাপ নির্ণয় কর। (খ) $BC$ এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (গ) $\triangle ACD$ এর পরিসীমা নির্ণয় কর। (ক) নং সমস্যার সমাধান চিত্রানুসারে, $\angle ADC=30^\circ$ এবং $\angle ACB=60^\circ$ $\therefore \angle ACD=\angle BCD - \angle ACB$ $=180^\circ-60^\circ=120^\circ$ $\triangle ACD$-এ $\angle ACD+\angle ADC +\angle CAD=180^\circ$ বা, $120^\circ+30^\circ+\angle CAD=180^\circ$ বা, $150^\circ+\angle CAD=180^\circ$ বা, $\angle CAD=180^\circ - 150^\circ$ $\therefore \angle CAD=30^\circ$ [Answer] (খ) নং সমস্যার সমাধান ধরি, $AB=h$ এবং $BC=x$ মিটার চিত্রে, $\angle ACB=60^\circ$ $\therefore BD=BC+CD=(x+96)$ মিটার $\triangle ABC$ থেকে পাই, $tan \angle ACB=\frac{AB}{BC}$ বা, $tan60^\circ=\frac{h}{x}$ বা, $\sqrt3=\frac{h}{x}$ [$\because tan60^\circ=\sqrt3$] $\therefore h=\sqrt3 x$ -----($i$) আবার, $\triangle ABD$ থেকে পাই, $tan \angle ADB=\frac{AB}{BD}$ বা, $tan30^\circ=\frac{h}{x+96}$ বা, $\frac{1}{\s...

 ২০  $16$ মিটার দীর্ঘ একটি মই লম্বভাবে দণ্ডায়মান একটি দেওয়ালের ছাদ বরাবর ঠেস দিয়ে রাখা হলো। ফলে এটি ভূমির সাথে $60^\circ$ কোণ উৎপন্ন করল। (ক) উদ্দীপক অনুসারে সংক্ষিপ্ত বর্ণণাসহ চিত্র অঙ্কন কর। (খ) দেওয়ালটির উচ্চতা নির্ণয় কর। (গ) দেওয়ালের সাথে ঠেস দিয়ে রাখা অবস্থায় মইটিকে পূর্বের অবস্থান থেকে ভূমি বরাবর আর কতদূর সরালে মইটি ভূমির সাথে $30^\circ$ কোণ উৎপন্ন করবে? (ক) নং সমস্যার সমাধান মনে করি, দেওয়ালের উচ্চতা $AB=h$ মিটার, মইটির দৈর্ঘ্য $AC=16$ মিটার এবং মইটি ভূমির সাথে $ACB=60^\circ$ উৎপন্ন করে। (খ) নং সমস্যার সমাধান $\triangle ABC$ থেকে পাই, $sin ACB=\frac{AB}{AC}$ বা, $sin60^\circ=\frac{h}{16}$ বা, $\frac{\sqrt3}{2}=\frac{h}{16}$ বা, $h=\frac{16\sqrt3}{2}$ বা, $h=8\sqrt3$ $\therefore h=13.86$ (প্রায়) [Answer] (গ) নং সমস্যার সমাধান ‘খ’ হতে পাই, $AB=8\sqrt3$ মিটার ধরি, মইটিকে পূর্বের অবস্থান থেকে ভূমি বরাবর $x$ মিটার দূরে সরানো হয়। এখন, $AC=DE=16$ মিটার এবং $DE=BC+x$ এখানে, সমকোণী $\triangle ABC$ থেকে পাই, $BC^2+AB^2=AC^2$ বা, $BC^2=AC^2...

 ১৯  একটি নদীর এক তীরে কোনো স্থানে দাঁড়িয়ে একজন লোক দেখলো যে, ঠিক সেজাসুজি অপর তীরে অবস্থিত $150$ মিটার লম্বা একটি গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ $30^\circ$। লোকটি একটি নৌকা যোগে গাছটিকে লক্ষ্য করে যাত্রা শুরু করলো। কিন্তু পানির স্রোতের কারণে লোকটি গাছ থেকে $10$ মিটার দূরে তীরে পৌঁছল। (ক) উপরোক্ত বর্ণনাটি চিত্রের মাধ্যমে দেখাও। (খ) নদীর বিস্তার নির্ণয় কর। (গ) লোকটির যাত্রা স্থান থেকে গন্তব্য স্থানের দূরত্ব নির্ণয় কর। (ক) নং সমস্যার সমাধান মনে করি, নদীর বিস্তার $AB=x$ মিটার, $A$ বিন্দুতে $BC=150$ মিটার গাছে শীর্ষের উন্নতি $\angle CAB=30^\circ$ এবং অপর তীরে নৌকার অবস্থান $D$ বিন্দুতে হলে $AD=y$ মিটার এবং $BD=10$ মিটার। (খ) নং সমস্যার সমাধান $\triangle ABC$ থেকে পাই, $tan\angle CAB=\frac{BC}{AB}$ বা, $tan30^\circ=\frac{150}{x}$ বা, $\frac{1}{\sqrt3}=\frac{150}{x}$ [$\because tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt3}$] বা, $x=150\sqrt3$ $\therefore x=259.808$ (প্রায়) সুতরাং নদীর বিস্তার $259.808$ মিটার (প্রায়) [Answer] (গ) নং সমস্যার সমাধান $\triangle ABD$ থে...

 ২৯  দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি $7$; অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে $9$ বেশি। (ক) চলক $x$ এর মাধ্যমে প্রদত্ত সংখ্যাটি ও স্থান বিনিময়কৃত সংখ্যাটি লেখ। (খ) সংখ্যাটি নির্ণয় কর। (গ) প্রদত্ত সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় যদি সেন্টিমিটারে কোনো আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্দেশ করে তবে ঐ আয়তক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। কর্ণটিকে কোনো বর্গের বাহু ধরে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (ক) নং সমস্যার সমাধান মনে করি, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক $x$ $\therefore$ দশক স্থানীয় অঙ্ক $(7-x)$ $\therefore$ সংখ্যাটি $10(7-x)+x$$=70-10x+x$$=70-9x$ $\therefore$ অঙ্ক দুইটি স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হয়, $10x+(7-x)$ $=10x+7-x$ $=9x+7$ [Answer] (খ) নং সমস্যার সমাধান প্রশ্নমতে, $70-9x=(9x+7)-9$ বা, $-9x-9x=7-9-70$ বা, $-18x=-72$ বা, $18x=72$ বা, $x=\frac{72}{18}$ $\therefore x=4$ $\therefore$ নির্নেয় সংখ্যাটি $70-9\times4$$=70-36$$=34$ [Answer] (গ) নং সমস্যার সমাধান তথ্যমতে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ...

 ৩০  একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও উচ্চতা যথাক্রমে $(x-1)$ সে.মি. ও $x$ সে.মি. এবং একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য ত্রিভুজটির উচ্চতার সমান। আবার, একটি আয়তক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $x+3$ সে.মি. ও প্রস্থ $x$ সে.মি.। (ক) একটিমাত্র চিত্রের মাধ্যমে তথ্যগুলো দেখাও। (খ) ত্রিভুজক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল $10$ বর্গ সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত? (গ) ত্রিভুজক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের ধারাবাহিক অনুপাত বের কর। (ক) নং সমস্যার সমাধান মনে করি, এখানে, $ABC$ হলো সমকোণী ত্রিভুজ যার ভূমি, $BC=(x-1)$ সে.মি. এবং উচ্চতা, $AC=x$ সে.মি. $ABC$ হলো বর্গক্ষেত্র যার বাহুর দৈর্ঘ্য, $AC=CD=DE=AE=x$ সে.মি. $ACFG$ হলো আয়তক্ষেত্র যার দৈর্ঘ্য, $AG=CF=(x+3)$ সে.মি. এবং প্রস্থ, $AC=GF=x$ সে.মি. [Answer] (খ) নং সমস্যার সমাধান আমরা জানি ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল$=$$\dfrac12 \times$ভূমি$\times$উচ্চতা $\therefore \dfrac12 \cdot (x-1) \cdot x =10$ বা, $\dfrac12 \cdot (x-1) \cdot x =10$ বা, $x\left(x-1\right)=10\times2$ বা, $x^2-x=20$ বা, $x^2-x-20=0$ বা, $x^2-5x+4x-20=0$ বা, $x\le...

 ৩১  একটি জমির ক্ষেত্রফল $192$ বর্গমিটার। জমিটির দৈর্ঘ্য $4$ মিটার কমালে এবং প্রস্থ $4$ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। আবার জমিটির মাঝখানে $20$ সি.মি. ব্যাস বিশিষ্ট একটি বৃত্ত আঁকা হলো। বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে একটি জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা এর অর্ধেকের চেয়ে $2$ সে.মি. কম। (ক) জমিটির দৈর্ঘ্যকে $x$ এবং প্রস্থকে $y$ ধরে তথ্যগুলোকে সমীকরণে প্রকাশ কর। (খ) জমিটির পরিসীমা নির্ণয় কর। (গ) বৃত্তটির জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। (ক) নং সমস্যার সমাধান দেওয়া আছে, জমিটির দৈর্ঘ্য $x$ মিটার এবং প্রস্থ $y$ মিটার। $\therefore$ জমিটির ক্ষেত্রফল $=$ দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $=$ $xy$ বর্গমিটার। প্রশ্নমতে, ক্ষেত্রফল $xy=192$ বর্গমিটার। ----- ($i$) আবার, দৈর্ঘ্য $4$ মিটার কমালে ও প্রস্থ $4$ মিটার বাড়ালে নতুন ক্ষেত্রফল $(x-4)(y+4)$ বর্গমিটার। $\therefore (x-4)(y+4)=192$ ----- ($ii$) বর্গমিটার [Answer] (খ) নং সমস্যার সমাধান ($ii$) নং হতে পাই, $(x-4)(y+4)=192$ বা, $x(y+4)-4(y+4)=192$ বা, $xy+4x-4y-16=192$ বা, $192+4x-4y-16=192$ [$\be...