Posts

Showing posts with the label Algebra

গণিত : বীজগাণিতিক সূত্রাবলী : প্রাথমিক আলোচনা

বীজগাণিতিক সূত্রাবলী প্রাথমিক আলোচনা বীজগাণিতিক সমস্যা সমাধানের জন্যে বীজগণিতের সূত্রাবলি ব্যবহৃত হয়। আমাদের দেশে প্রচলিত পাঠ্যসূচিতে মাধ্যমিক স্তর থেকে মূলত বীজগণিতের যাত্রা শুরু হয়েছে। উপরন্তু সহজ এবং সূত্র নির্ভর হওয়ায় অধ্যায়টি সহজেই শিক্ষার্থীদের কাছে আনন্দের সাথে গ্রহণযোগ্যতা পেয়েছে। শিক্ষানবিস থেকে শুরু করে চাকুরী ব্যবস্থায় প্রশ্ন কাঠামোতে বীজগণিত একটি কমন ফ্যাক্টর। এই অধ্যায়ে আমরা বীজগাণিতিক সূত্রের সাহায্যে সমস্যা সমাধান, বর্গ ও ঘনের সম্প্রসারণ এবং বাস্তব সমস্যা সমাধানে বীজগণিতিক সূত্রের গঠন ও প্রয়োগসহ বীজগণিতের খুঁটিনাটি বিষয় আলোচনা করব। পাটিগণিতের মত বীজগণিতে বিভিন্ন প্রতীক ও চিহ্ন ব্যবহার  করা হয়। যেমন: a, b, c, d, p, q, r, m, n, x, y, z ইত্যাদি। যেগুলো কখনো একক অর্থ বহন করে আবার কখনো বিভিন্নতা প্রকাশ করে। এগুলো কে বলা হয় বীজগাণিতিক রাশি। বীজগণিতিক রাশি সংবলিত বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে এই সমস্ত বর্ণের ব্যবহার করা হয়।  বীজগাণিতিক রাশি : সংখ্যা নির্দেশক প্রতীক এবং প্রক্রিয়া চিহ্ন এর অর্থবোধক বিন্যাসকে বীজগাণিতিক রাশি বলা হয়। খেয়াল ...

সংখ্যা পদ্ধতি

Image
প্রিয় শিক্ষার্থী / শিক্ষক, আমার এই সাইট ভিজিট করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। নবম দশম শ্রেণির বাস্তব সংখ্যা অধ্যায় আরো ভালো করে অধ্যয়ন করার জন্য এই প্রবাহ চিত্র (Flow Chart) দেয়া হলো। কোনো অধ্যায়ের বিষয়বস্তুর বিন্যাস ও ধারাবাহিকতা সম্পর্কে পূর্ব হতে ধারণা থাকলে প্রশ্ন ও উত্তর আত্মস্থ করা সহজ হয়। সংখ্যা পদ্ধতি

প্রমাণ কর যে, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল 8 (৮ = আট) দ্বারা বিভাজ্য

মনে করি, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা যথাক্রমে $2n$ এবং $2n+2$, যেখানে $n$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং $n\in N$ এদের গুণফল $\begin{array}{l}=2n\left(2n+2\right)\\=4n^2+4n\\=4n\left(n+1\right)\end{array}$ এখানে, $n\in N$ এর জন্য $n$ ও $n+1$ ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা। ফলে $n\left(n+1\right)$ একটি জোড় সংখ্যা যা $2$ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং $4n\left(n+1\right)$ রাশিটি $4 \times2$ বা $8$ দ্বারা বিভাজ্য। ∴ দুইটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল 8 (৮ = আট) দ্বারা বিভাজ্য। (প্রমাণিত)

প্রমাণ কর যে, √2, √3, √5, √7.... অমূলদ সংখ্যা

Image
৯ম, ১০ম শ্রেণিতে আমরা অনেকে $ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{11} \ldots \ldots \ldots$ অমূলদ সংখ্যার প্রমাণটি মুখস্ত করে ফেলি। কিছু বুঝি বা না বুঝি। আসুন আজ একটু বুঝে বুঝে পড়ার চেষ্টা করি। বলে রাখি এখানের প্রমাণটি পরীক্ষার খাতায় লিখার জন্য নয় এটি শুধু নিজে বুঝার জন্য। পরীক্ষার খাতায় কিভাবে লিখবেন তা পরে আলোচনা করবো। তাহলে আসুন শুরু করি...... প্রমাণ কর যে, $ \sqrt{2}$ অমূলদ সংখ্যা। আমরা জানি, বাস্তব সংখ্যা দুই প্রকার, যথা (১) মূলদ সংখ্যা       (i) পূর্ণ সংখ্যা       (ii) সমীম ভগ্নাংশ সংখ্যা (২) অমূলদ সংখ্যা অর্থাৎ $ \sqrt{2}$ পূর্ণসংখ্যা, ভগ্নাংশ সংখ্যা, অমূলদ সংখ্যা এই তিনটির যে কোনো একটিতে অবশ্যই হতে হবে। প্রথমেই ধরি, $ \sqrt{2}$ একটি মূলদ সংখ্যা। মূলদ সংখ্যার দুইটি পার্ট (i) পূর্ণ সংখ্যা (ii) সসীম ভগ্নাংশ সংখ্যা। প্রথমে, $ \sqrt{2}$ পূর্ণসংখ্যা কিনা তা প্রমাণ করার চেষ্টা করি, আমরা জানি, স্বাভাবিক পূর্ণ সংখ্যার $N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 \ldots \ldots \...

প্রমাণ কর যে, যেকোনো বিজোড় পূর্ণসংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা

প্রমাণ কর যে, যেকোনো বিজোড় পূর্ণসংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা। প্রমাণ : মনে করি, $n$ একটি বিজোড় সংখ্যা ∴ $n = 2x - 1$, যেখানে $x~ \in ~Z$ বা, $n^2 = \left ( 2x-1 \right )^{2}$ [ বর্গ করে ] $~~~~~~~~= \left ( 2x \right )^{2}-2.2x.1+1^{2}$ $~~~~~~~~= 4x^{2}-4x+1$ $~~~~~~~~= 4x\left ( x-1 \right )+1$ এখানে, $4x\left ( x-1 \right )$ সংখ্যাটি $2$ দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ জোড় সংখ্যা। আমরা জানি, যেকোনো জোড় সংখ্যার সাথে $1$ যোগ করলে যোগফল একটি বিজোড় সংখ্যা হয়। ∴ $4x\left ( x-1 \right )+1$ সুতরাং যেকোনো বিজোড় পূর্ণ সংখ্যার বর্গ বিজোড় সংখ্যা। [  প্রমাণিত ]