My All Garbage | Biggest Website for Educational Support in BD

একটি বৃত্ত বা বৃত্তচাপ দেওয়া আছে, কেন্দ্র নির্ণয় করতে হবে। মনে করি, বৃত্ত (চিত্র-১) বা বৃত্তচাপ (চিত্র-২) দেওয়া আছে, বৃত্তটির বা বৃত্তচাপটির কেন্দ্র নির্ণয় করতে হবে। অঙ্কন : প্রদত্ত বৃত্তে বা বৃত্তচাপে তিনটি বিন্দু $A$, $B$ ও $C$ নিই। $A$, $B$ ও $B$, $C$ যোগ করি। $AB$ ও $BC$ জ্যা দুইটির লম্বদ্বিখণ্ডক। যথাক্রমে $EF$, $GH$ রেখাংশ দুইটি টানি। মনে করি, তারা পরস্পর $O$ বিন্দুতে ছেদ করে। সুতরাং, $O$ বিন্দুই বৃত্তের বা বৃত্তচাপের কেন্দ্র। প্রমাণ : $EF$ রেখাংশ $AB$ জ্যা এর এবং $GH$ রেখাংশ $BC$ জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক। কিন্তু $EF$ ও $GH$ উভয়ে কেন্দ্রগামী এবং $O$ এদের সাধারণ ছেদ বিন্দু। সুতরাং $O$ বিন্দুই বৃত্তের বা বৃত্তচাপের কেন্দ্র।

বৃত্তের কোনো বিন্দুতে একটি স্পর্শক আঁকতে হবে। মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $A$ একটি বিন্দু। $A$ বিন্দুতে বৃত্তটিতে একটি স্পর্শক আঁকতে হবে। অঙ্কন : $O$, $A$ যোগ করি। $A$ বিন্দুতে $OA$ এর উপর $AP$ লম্ব আঁকি। তাহলে $AP$ নির্ণেয় স্পর্শক। প্রমাণ : $OA$ রেখাংশ $A$ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং $AP$ তার ওপর লম্ব। সুতরাং, $AP$ রেখাই নির্ণেয় স্পর্শক।

বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তটির স্পর্শক আঁকতে হবে। মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের $P$ একটি বহিঃস্থ বিন্দু। $P$ বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে স্পর্শক আঁকতে হবে। অঙ্কন : ১. $P$, $O$ যোগ করি। $PO$ রেখাংশের মধ্যবিন্দু $M$ নির্ণয় করি। ২. এখন $M$ কে কেন্দ্র করে $MO$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। মনে করি, নতুন অঙ্কিত বৃত্তটি প্রদত্ত বৃত্তকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করে। ৩. $A$, $P$ ও $B$, $P$ যোগ করি। তাহলে, $AP$, $BP$ উভয়েই নির্ণেয় স্পর্শক। প্রমাণ : $A$, $O$ ও $B$, $O$ যোগ করি। $APB$ বৃত্তে $PO$ ব্যাস। $\angle PAO=$ এক সমকোণ [$\because$ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ একসমকোণ] সুতরাং, $OA$ রেখাংশ $AP$ রেখাংশের ওপর লম্ব। অতএব, $O$ কেন্দ্রিক বৃত্তের $A$ বিন্দুতে $AP$ রেখাংশ একটি স্পর্শক। অনুরূপভাবে, $BP$ রেখাংশও একটি স্পর্শক।

কোনো নির্দিষ্ট স্থূলকোণী ত্রিভুজের পরিবৃত্ত আঁকতে হবে। মনে করি, $ABC$ একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ, যার $\angle B$ স্থূলকোণ। এর পরিবৃত্ত আঁকতে হবে। অর্থাৎ, এমন একটি বৃত্ত আঁকতে হবে, যা ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু $A$, $B$ ও $C$ বিন্দু দিয়ে যায় বা যার কেন্দ্র $A$, $B$ ও $C$ থেকে সমদূরবর্তী। অঙ্কন : ১. $AB$ ও $BC$ রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে $FN$ ও $EM$ রেখাংশ আঁকি। মনে করি, তারা পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করে। ২. $A$, $O$ যোগ করি। $O$ কে কেন্দ্র করে $OA$ এর মান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। তাহলে, বৃত্তটি $A$, $B$ ও $C$ বিন্দুগামী হবে এবং এই বৃত্তটিই $\triangle ABC$ এর নির্ণেয় পরিবৃত্ত। প্রমান : $B$, $O$ ও $C$, $O$ যোগ করি। $O$ বিন্দুটি $AB$ এর লম্বদ্বিখণ্ডক $FN$ এর ওপর অবস্থিত। $\therefore OA=OB$, একইভাবে $OB=OC$ $\therefore OA=OB=OC$ সুতরাং $O$ কে কেন্দ্র করে $OA$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত বৃত্তটি $A$, $B$ ও $C$ বিন্দু তিনটি দিয়ে যাবে বা $OA=OB=OC$ হওয়ায় কেন্দ্র $O$ থেকে $A$, $B$ ও $C$ সমদূরবর্ত...

কোনো নির্দিষ্ট ত্রিভুজের পরিবৃত্ত আঁকতে হবে। মনে করি, $ABC$ একটি ত্রিভুজ। এর পরিবৃত্ত আঁকতে হবে। অর্থাৎ, এমন একটি বৃত্ত আঁকতে হবে, যা ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু $A$, $B$ ও $C$ বিন্দু দিয়ে যায় বা যার কেন্দ্র $A$, $B$ ও $C$ থেকে সমদূরবর্তী। অঙ্কন : ১. $AB$ ও $AC$ রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে $EM$ ও $FN$ রেখাংশ আঁকি। মনে করি, তারা পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করে। ২. $A$, $O$ যোগ করি। $O$ কে কেন্দ্র করে $OA$ এর মান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। তাহলে, বৃত্তটি $A$, $B$ ও $C$ বিন্দুগামী হবে এবং এই বৃত্তটিই $\triangle ABC$ এর নির্ণেয় পরিবৃত্ত। প্রমান : $B$, $O$ ও $C$, $O$ যোগ করি। $O$ বিন্দুটি $AB$ এর লম্বদ্বিখণ্ডক $EM$ এর ওপর অবস্থিত। $\therefore OA=OB$, একইভাবে $OA=OC$ $\therefore OA=OB=OC$ সুতরাং $O$ কে কেন্দ্র করে $OA$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত বৃত্তটি $A$, $B$ ও $C$ বিন্দু তিনটি দিয়ে যাবে বা $OA=OB=OC$ হওয়ায় কেন্দ্র $O$ থেকে $A$, $B$ ও $C$ সমদূরবর্তী। সুতরাং এই বৃত্তটিই $\triangle ABC$ এর পরিব...

কোনো নির্দিষ্ট ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত আঁকতে হবে। মনে করি, $ABC$ একটি ত্রিভুজ। এর অন্তর্বৃত্ত আঁকতে হবে। অর্থাৎ, $\angle ABC$ এর ভিতরে এমন একটি বৃত্ত আঁকতে হবে, যা $BC$, $CA$ ও $AB$ বাহু তিনটির প্রত্যেকটিকে স্পর্শ করে। অঙ্কন : $\angle ABC$ ও $\angle ACB$ এর সমদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে $BL$ ও $CM$ আঁকি। মনে করি, তারা $O$ বিন্দুতে ছেদ করে। $O$ থেকে $BC$ এর ওপর $OD$ লম্ব আঁকি এবং মনে করি, তা $BC$ কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। $O$ কে কেন্দ্র করে $OD$ এর সমান ব্যসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। তাহলে, এই বৃত্তটিই নির্ণেয় অন্তর্বৃত্ত। প্রমাণ : $O$ থেকে $AC$ ও $AB$ এর ওপর যথাক্রমে $OE$ ও $OF$ লম্ব টানি। মনে করি, লম্বদ্বয় বাহুদ্বয়কে যথাক্রমে $E$ ও $F$ বিন্দুতে ছেদ করে। $O$ বিন্দু $\angle ABC$ এর দ্বিখণ্ডকের ওপর অবস্থিত। $\therefore OF=OD$ বাহু। অনুরূপভাবে, $O$ বিন্দু $\angle ACB$ এর দ্বিখণ্ডকের ওপর অবস্থিত বলে $OE=OD$ $\therefore OD=OE=OF$ সুতরাং $O$ কে কেন্দ্র করে $OD$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকলে তা $D$, $E$ ও $F$ বিন্দু দিয়ে যাবে। আবার, $OD$, $OE$ ...

কোনো নির্দিষ্ট ত্রিভুজের বহির্বৃত্ত আঁকতে হবে। মনে করি, $ABC$ একটি ত্রিভুজ। এর বহির্বৃত্ত আঁকতে হবে। অর্থাৎ, এমন একটি বৃত্ত আঁকতে হবে, যা ত্রিভুজের একটি বাহুকে এবং অপর দুই বাহুর বর্ধিতাংশকে স্পর্শ করে। অঙ্কন : $AB$ ও $AC$ বাহুদ্বয়কে যথাক্রমে $D$ ও $F$ পর্যন্ত বর্ধিত করি। $\angle DBC$ ও $\angle FCB$ এর সদ্বিখণ্ডক $BM$ ও $CN$ আঁকি। মনে করি, $E$ এদের ছেদবিন্দু। $E$ থেকে $BC$ এর ওপর $EH$ লম্ব আঁকি এবং মনে করি তা $BC$ কে $H$ বিন্দুতে ছেদ করে। $E$ কে কেন্দ্র করে $EH$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। তাহলে, এই বৃত্তটিই নির্ণেয় বহির্বৃত্ত। প্রমাণ :  $E$ থেকে $BD$ ও $CF$ রেখাংশের ওপর যথাক্রমে $EG$ ও $EL$ লম্ব টানি। মনে করি, লম্বদ্বয় $BD$ ও $CF$ রেখাংশদ্বয়কে যথাক্রমে $G$ ও $L$ বিন্দুতে ছেদ করে। $E$ বিন্দুটি $\angle DBC$ এর দ্বিখণ্ডকের ওপর অবস্থিত $\therefore EH=EG$ অনুরূপভাবে, $E$ বিন্দুটি $\angle FCB$ এর দ্বিখণ্ডকের ওপর অবস্থিত বলে $EH=EL$ $\therefore EH=EG=EL$ সুতরাং $E$ কে কেন্দ্র করে $EL$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত বৃত্ত $H$,...