My All Garbage | Biggest Website for Educational Support in BD

 ২৪  একদিন কোনো ক্লাসে অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থী অনুপাত $1:4$ (ক) অনুপস্থিত শিক্ষার্থীদেরকে মোট শিক্ষার্থীর শতকরায় প্রকাশ কর। (খ) $5$ জন শিক্ষার্থীর বেশি উপস্থিত হলে অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থীর অনুপাত হতো $1:9$। মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত? (গ) মোট শিক্ষার্থীর মধ্যে ছাত্র সংখ্যা ছাত্রী সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা $10$ জন কম। ছাত্র ও ছাত্রী সংখ্যার অনুপাত নির্ণেয় কর। (ক) নং এর সমাধান মনে করি, অনুপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যা $x$ এবং উপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যা $4x$ [এখানে, $x$ ধনাত্মক আনুপাতিক ধ্রুবক] $\therefore$ মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা $(x+4x)=5x$ সুতরাং, অনুপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যা মোট শিক্ষার্থীদের সংখ্যার অনুপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যা মোট শিক্ষার্থীদের সংখ্যা $\times 100\%$ $=\left(\frac{x}{5x}\times100\right)\%$ $=20\%$ [Answer] (খ) নং এর সমাধান $5$ জন শিক্ষার্থী বেশি উপস্থিত হলে, উপস্থিত শিক্ষার্থীর সংখ্যা $(4x+5)$ জন এবং অনুপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যা $(x-5)$ জন। প্রশ্নমতে, $\frac{x-5}{4x+5}=\...

 ২৫  আশিক, মিজান, অনিক ও অহনা মোট $132500$ টাকা মূলধন নিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে এবং এক বছর শেষে $26500$ টাকা লাভ হয়। উক্ত ব্যবসায় মূলধনে আশিকের অংশ; মিজানের অংশ $=2:3$, মিজানের অংশ : অনিকার অংশ $=4:5$ এবং অনিকার অংশ : অহনার অংশ $=5:6$ (ক) মূলধনের সরল অনুপাত নির্ণয় কর। (খ) উক্ত ব্যবসায় প্রত্যেকের মূলধন নির্ণয় কর। (গ) বছর শেষে লভ্যাংশের $60\%$ উক্ত ব্যবসায় বিনিয়োগ করা হলো। অবশিষ্ট লভ্যাংশ মূলধনের সরল অনুপাতে বিভক্ত হলে অহনা ও আশিকের লভ্যাংশের মধ্যে কে কত টাকা বেশি লাভ পাবে? (ক) নং এর সমাধান দেওয়া আছে, একটি ব্যবসায় বিনিয়োগকৃত মূলধনে, আশিকের অংশ : মিজানের অংশ $2:3$$=(2 \times 4):(3 \times 4)$$=8:12$ মিজানের অংশ : অনিকের অংশ $4:5$$=(4 \times 3):(5 \times 3)$$=12:15$ অনিকের অংশ : অহনার অংশ $5:6$$=(5 \times 3):(6 \times 3)$$=15:18$ $\therefore$ আশিক : মিজান : অনিক : অহনার মূলধনের অংশ = $8:12:15:18$ [Answer] (খ) নং এর সমাধান ‘ক’ থেকে পাই,  আশিক : মিজান : অনিক : অহনার মূলধনের অংশ = $8:12:15:18$ সুতরাং, অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল $8+12+15+18$$=53$ এখানে, মোট মূলধন $13250...

একটি বৃত্ত বা বৃত্তচাপ দেওয়া আছে, কেন্দ্র নির্ণয় করতে হবে। মনে করি, বৃত্ত (চিত্র-১) বা বৃত্তচাপ (চিত্র-২) দেওয়া আছে, বৃত্তটির বা বৃত্তচাপটির কেন্দ্র নির্ণয় করতে হবে। অঙ্কন : প্রদত্ত বৃত্তে বা বৃত্তচাপে তিনটি বিন্দু $A$, $B$ ও $C$ নিই। $A$, $B$ ও $B$, $C$ যোগ করি। $AB$ ও $BC$ জ্যা দুইটির লম্বদ্বিখণ্ডক। যথাক্রমে $EF$, $GH$ রেখাংশ দুইটি টানি। মনে করি, তারা পরস্পর $O$ বিন্দুতে ছেদ করে। সুতরাং, $O$ বিন্দুই বৃত্তের বা বৃত্তচাপের কেন্দ্র। প্রমাণ : $EF$ রেখাংশ $AB$ জ্যা এর এবং $GH$ রেখাংশ $BC$ জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক। কিন্তু $EF$ ও $GH$ উভয়ে কেন্দ্রগামী এবং $O$ এদের সাধারণ ছেদ বিন্দু। সুতরাং $O$ বিন্দুই বৃত্তের বা বৃত্তচাপের কেন্দ্র।

বৃত্তের কোনো বিন্দুতে একটি স্পর্শক আঁকতে হবে। মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $A$ একটি বিন্দু। $A$ বিন্দুতে বৃত্তটিতে একটি স্পর্শক আঁকতে হবে। অঙ্কন : $O$, $A$ যোগ করি। $A$ বিন্দুতে $OA$ এর উপর $AP$ লম্ব আঁকি। তাহলে $AP$ নির্ণেয় স্পর্শক। প্রমাণ : $OA$ রেখাংশ $A$ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং $AP$ তার ওপর লম্ব। সুতরাং, $AP$ রেখাই নির্ণেয় স্পর্শক।

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টির সমান। বিশেষ নির্বচন : মনে করি, $ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ এর $\angle C$ $=$ এক সমকোণ। সুতরাং $AB$ অতিভুজ। প্রমাণ করতে হবে যে, $AB$ এর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র $=$ $AC$ এর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র $+$ $BC$ এর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র। অর্থাৎ, $AB^2=AC^2+BC^2$ অঙ্কন : $AB$, $AC$ এবং $BC$ বাহুর উপর যথাক্রমে $ABED$, $ACGF$ এবং $BCHK$ বর্গক্ষেত্রদ্বয় অঙ্কন করি। $C$ বিন্দু দিয়ে $AD$ বা, $BE$ রেখার সমান্তরাল $CL$ রেখা আঁকি। মনে করি, তা $AB$ কে $M$ বিন্দুতে এবং $DE$ কে $L$ বিন্দুতে ছেদ করে। $C$ ও $D$ এবং $B$ ও $F$ যোগ করি প্রমাণ : $\angle BAD = \angle CAF$ [প্রত্যেকেই এক সমকোণ] এখন উভয় পক্ষে $\angle BAC$ যোগ করি। তাহলে, $\angle BAD+\angle BAC=\angle CAF + \angle BAC$ $\therefore \angle CAD=\angle BAF$ .....($i$) এখন, $\triangle CAD$ এবং $\triangle BAF$ এ, $CA=AF$ [$\because$ অঙ্কন অনুসারে $ACFG$ বর্গক্ষেত্র তাই এর প্রত্যেক বাহু সমান] $AD=AB$ [$\because$ অঙ্কন অনুসারে $ABDE$...

বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তটির স্পর্শক আঁকতে হবে। মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের $P$ একটি বহিঃস্থ বিন্দু। $P$ বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে স্পর্শক আঁকতে হবে। অঙ্কন : ১. $P$, $O$ যোগ করি। $PO$ রেখাংশের মধ্যবিন্দু $M$ নির্ণয় করি। ২. এখন $M$ কে কেন্দ্র করে $MO$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। মনে করি, নতুন অঙ্কিত বৃত্তটি প্রদত্ত বৃত্তকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করে। ৩. $A$, $P$ ও $B$, $P$ যোগ করি। তাহলে, $AP$, $BP$ উভয়েই নির্ণেয় স্পর্শক। প্রমাণ : $A$, $O$ ও $B$, $O$ যোগ করি। $APB$ বৃত্তে $PO$ ব্যাস। $\angle PAO=$ এক সমকোণ [$\because$ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ একসমকোণ] সুতরাং, $OA$ রেখাংশ $AP$ রেখাংশের ওপর লম্ব। অতএব, $O$ কেন্দ্রিক বৃত্তের $A$ বিন্দুতে $AP$ রেখাংশ একটি স্পর্শক। অনুরূপভাবে, $BP$ রেখাংশও একটি স্পর্শক।