My All Garbage | Biggest Website for Educational Support in BD

 ২৩  একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত $5:12:13$ এবং পরিসীমা $30$ সে.মি. (ক) ত্রিভুজটি অঙ্কন কর এবং কোণ ভেদে ত্রিভুজটি কী ধরনের তা লেখ। (খ) বৃহত্তর বাহুকে দৈর্ঘ্য এবং ক্ষুদ্রতর বাহুকে প্রস্থ ধরে অঙ্কিত আয়তক্ষেত্রের বর্ণের সমান বাহুবিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর। (গ) উক্ত আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $10\%$ এবং প্রস্থ $20\%$ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে? (ক) নং এর সমাধান মনে করি, ত্রিভুজের বাহুগুলো $5x$, $12x$ ও $13x$ সে.মি. শর্তমতে, $5x+12x+13x=30$ বা, $30x=30$ বা, $x=\frac{30}{30}$ $\therefore x=1$ সুতরাং, বাহুগুলো $5 \cdot 1=5$ সে.মি., $12 \cdot 1=12$ সে.মি. ও $13 \cdot 1=13$ সে.মি. নিচে ত্রিভুজটি অঙ্কন করা হলো: এখানে, $\triangle ABC$ উদ্দিষ্ট্য ত্রিভুজ যার $AB=5$ সে.মি. $AC=12$ সে.মি. ও $BC=13$ সে.মি. এখন, উক্ত ত্রিভুজ এর $BC=13$ বা, $BC^2=13^2$ [উভয় পাশে বর্গ করে] বা, $BC^2=169$ বা, $BC^2=144+25$ বা, $BC^2=12^2+5^2$ $\therefore BC^2=AC^2+AB^2$ দেখা যাচ্ছে যে, ত্রিভুজটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য সমর্থন করে, ত...

 ২৪  একদিন কোনো ক্লাসে অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থী অনুপাত $1:4$ (ক) অনুপস্থিত শিক্ষার্থীদেরকে মোট শিক্ষার্থীর শতকরায় প্রকাশ কর। (খ) $5$ জন শিক্ষার্থীর বেশি উপস্থিত হলে অনুপস্থিত ও উপস্থিত শিক্ষার্থীর অনুপাত হতো $1:9$। মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা কত? (গ) মোট শিক্ষার্থীর মধ্যে ছাত্র সংখ্যা ছাত্রী সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা $10$ জন কম। ছাত্র ও ছাত্রী সংখ্যার অনুপাত নির্ণেয় কর। (ক) নং এর সমাধান মনে করি, অনুপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যা $x$ এবং উপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যা $4x$ [এখানে, $x$ ধনাত্মক আনুপাতিক ধ্রুবক] $\therefore$ মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা $(x+4x)=5x$ সুতরাং, অনুপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যা মোট শিক্ষার্থীদের সংখ্যার অনুপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যা মোট শিক্ষার্থীদের সংখ্যা $\times 100\%$ $=\left(\frac{x}{5x}\times100\right)\%$ $=20\%$ [Answer] (খ) নং এর সমাধান $5$ জন শিক্ষার্থী বেশি উপস্থিত হলে, উপস্থিত শিক্ষার্থীর সংখ্যা $(4x+5)$ জন এবং অনুপস্থিত শিক্ষার্থীদের সংখ্যা $(x-5)$ জন। প্রশ্নমতে, $\frac{x-5}{4x+5}=\...

 ২৫  আশিক, মিজান, অনিক ও অহনা মোট $132500$ টাকা মূলধন নিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে এবং এক বছর শেষে $26500$ টাকা লাভ হয়। উক্ত ব্যবসায় মূলধনে আশিকের অংশ; মিজানের অংশ $=2:3$, মিজানের অংশ : অনিকার অংশ $=4:5$ এবং অনিকার অংশ : অহনার অংশ $=5:6$ (ক) মূলধনের সরল অনুপাত নির্ণয় কর। (খ) উক্ত ব্যবসায় প্রত্যেকের মূলধন নির্ণয় কর। (গ) বছর শেষে লভ্যাংশের $60\%$ উক্ত ব্যবসায় বিনিয়োগ করা হলো। অবশিষ্ট লভ্যাংশ মূলধনের সরল অনুপাতে বিভক্ত হলে অহনা ও আশিকের লভ্যাংশের মধ্যে কে কত টাকা বেশি লাভ পাবে? (ক) নং এর সমাধান দেওয়া আছে, একটি ব্যবসায় বিনিয়োগকৃত মূলধনে, আশিকের অংশ : মিজানের অংশ $2:3$$=(2 \times 4):(3 \times 4)$$=8:12$ মিজানের অংশ : অনিকের অংশ $4:5$$=(4 \times 3):(5 \times 3)$$=12:15$ অনিকের অংশ : অহনার অংশ $5:6$$=(5 \times 3):(6 \times 3)$$=15:18$ $\therefore$ আশিক : মিজান : অনিক : অহনার মূলধনের অংশ = $8:12:15:18$ [Answer] (খ) নং এর সমাধান ‘ক’ থেকে পাই,  আশিক : মিজান : অনিক : অহনার মূলধনের অংশ = $8:12:15:18$ সুতরাং, অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল $8+12+15+18$$=53$ এখানে, মোট মূলধন $13250...

একটি বৃত্ত বা বৃত্তচাপ দেওয়া আছে, কেন্দ্র নির্ণয় করতে হবে। মনে করি, বৃত্ত (চিত্র-১) বা বৃত্তচাপ (চিত্র-২) দেওয়া আছে, বৃত্তটির বা বৃত্তচাপটির কেন্দ্র নির্ণয় করতে হবে। অঙ্কন : প্রদত্ত বৃত্তে বা বৃত্তচাপে তিনটি বিন্দু $A$, $B$ ও $C$ নিই। $A$, $B$ ও $B$, $C$ যোগ করি। $AB$ ও $BC$ জ্যা দুইটির লম্বদ্বিখণ্ডক। যথাক্রমে $EF$, $GH$ রেখাংশ দুইটি টানি। মনে করি, তারা পরস্পর $O$ বিন্দুতে ছেদ করে। সুতরাং, $O$ বিন্দুই বৃত্তের বা বৃত্তচাপের কেন্দ্র। প্রমাণ : $EF$ রেখাংশ $AB$ জ্যা এর এবং $GH$ রেখাংশ $BC$ জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক। কিন্তু $EF$ ও $GH$ উভয়ে কেন্দ্রগামী এবং $O$ এদের সাধারণ ছেদ বিন্দু। সুতরাং $O$ বিন্দুই বৃত্তের বা বৃত্তচাপের কেন্দ্র।

বৃত্তের কোনো বিন্দুতে একটি স্পর্শক আঁকতে হবে। মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $A$ একটি বিন্দু। $A$ বিন্দুতে বৃত্তটিতে একটি স্পর্শক আঁকতে হবে। অঙ্কন : $O$, $A$ যোগ করি। $A$ বিন্দুতে $OA$ এর উপর $AP$ লম্ব আঁকি। তাহলে $AP$ নির্ণেয় স্পর্শক। প্রমাণ : $OA$ রেখাংশ $A$ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং $AP$ তার ওপর লম্ব। সুতরাং, $AP$ রেখাই নির্ণেয় স্পর্শক।

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টির সমান। বিশেষ নির্বচন : মনে করি, $ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ এর $\angle C$ $=$ এক সমকোণ। সুতরাং $AB$ অতিভুজ। প্রমাণ করতে হবে যে, $AB$ এর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র $=$ $AC$ এর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র $+$ $BC$ এর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র। অর্থাৎ, $AB^2=AC^2+BC^2$ অঙ্কন : $AB$, $AC$ এবং $BC$ বাহুর উপর যথাক্রমে $ABED$, $ACGF$ এবং $BCHK$ বর্গক্ষেত্রদ্বয় অঙ্কন করি। $C$ বিন্দু দিয়ে $AD$ বা, $BE$ রেখার সমান্তরাল $CL$ রেখা আঁকি। মনে করি, তা $AB$ কে $M$ বিন্দুতে এবং $DE$ কে $L$ বিন্দুতে ছেদ করে। $C$ ও $D$ এবং $B$ ও $F$ যোগ করি প্রমাণ : $\angle BAD = \angle CAF$ [প্রত্যেকেই এক সমকোণ] এখন উভয় পক্ষে $\angle BAC$ যোগ করি। তাহলে, $\angle BAD+\angle BAC=\angle CAF + \angle BAC$ $\therefore \angle CAD=\angle BAF$ .....($i$) এখন, $\triangle CAD$ এবং $\triangle BAF$ এ, $CA=AF$ [$\because$ অঙ্কন অনুসারে $ACFG$ বর্গক্ষেত্র তাই এর প্রত্যেক বাহু সমান] $AD=AB$ [$\because$ অঙ্কন অনুসারে $ABDE$...

বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তটির স্পর্শক আঁকতে হবে। মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের $P$ একটি বহিঃস্থ বিন্দু। $P$ বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে স্পর্শক আঁকতে হবে। অঙ্কন : ১. $P$, $O$ যোগ করি। $PO$ রেখাংশের মধ্যবিন্দু $M$ নির্ণয় করি। ২. এখন $M$ কে কেন্দ্র করে $MO$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। মনে করি, নতুন অঙ্কিত বৃত্তটি প্রদত্ত বৃত্তকে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করে। ৩. $A$, $P$ ও $B$, $P$ যোগ করি। তাহলে, $AP$, $BP$ উভয়েই নির্ণেয় স্পর্শক। প্রমাণ : $A$, $O$ ও $B$, $O$ যোগ করি। $APB$ বৃত্তে $PO$ ব্যাস। $\angle PAO=$ এক সমকোণ [$\because$ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ একসমকোণ] সুতরাং, $OA$ রেখাংশ $AP$ রেখাংশের ওপর লম্ব। অতএব, $O$ কেন্দ্রিক বৃত্তের $A$ বিন্দুতে $AP$ রেখাংশ একটি স্পর্শক। অনুরূপভাবে, $BP$ রেখাংশও একটি স্পর্শক।

কোনো নির্দিষ্ট স্থূলকোণী ত্রিভুজের পরিবৃত্ত আঁকতে হবে। মনে করি, $ABC$ একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ, যার $\angle B$ স্থূলকোণ। এর পরিবৃত্ত আঁকতে হবে। অর্থাৎ, এমন একটি বৃত্ত আঁকতে হবে, যা ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু $A$, $B$ ও $C$ বিন্দু দিয়ে যায় বা যার কেন্দ্র $A$, $B$ ও $C$ থেকে সমদূরবর্তী। অঙ্কন : ১. $AB$ ও $BC$ রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে $FN$ ও $EM$ রেখাংশ আঁকি। মনে করি, তারা পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করে। ২. $A$, $O$ যোগ করি। $O$ কে কেন্দ্র করে $OA$ এর মান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। তাহলে, বৃত্তটি $A$, $B$ ও $C$ বিন্দুগামী হবে এবং এই বৃত্তটিই $\triangle ABC$ এর নির্ণেয় পরিবৃত্ত। প্রমান : $B$, $O$ ও $C$, $O$ যোগ করি। $O$ বিন্দুটি $AB$ এর লম্বদ্বিখণ্ডক $FN$ এর ওপর অবস্থিত। $\therefore OA=OB$, একইভাবে $OB=OC$ $\therefore OA=OB=OC$ সুতরাং $O$ কে কেন্দ্র করে $OA$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত বৃত্তটি $A$, $B$ ও $C$ বিন্দু তিনটি দিয়ে যাবে বা $OA=OB=OC$ হওয়ায় কেন্দ্র $O$ থেকে $A$, $B$ ও $C$ সমদূরবর্ত...

কোনো নির্দিষ্ট ত্রিভুজের পরিবৃত্ত আঁকতে হবে। মনে করি, $ABC$ একটি ত্রিভুজ। এর পরিবৃত্ত আঁকতে হবে। অর্থাৎ, এমন একটি বৃত্ত আঁকতে হবে, যা ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু $A$, $B$ ও $C$ বিন্দু দিয়ে যায় বা যার কেন্দ্র $A$, $B$ ও $C$ থেকে সমদূরবর্তী। অঙ্কন : ১. $AB$ ও $AC$ রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে $EM$ ও $FN$ রেখাংশ আঁকি। মনে করি, তারা পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করে। ২. $A$, $O$ যোগ করি। $O$ কে কেন্দ্র করে $OA$ এর মান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। তাহলে, বৃত্তটি $A$, $B$ ও $C$ বিন্দুগামী হবে এবং এই বৃত্তটিই $\triangle ABC$ এর নির্ণেয় পরিবৃত্ত। প্রমান : $B$, $O$ ও $C$, $O$ যোগ করি। $O$ বিন্দুটি $AB$ এর লম্বদ্বিখণ্ডক $EM$ এর ওপর অবস্থিত। $\therefore OA=OB$, একইভাবে $OA=OC$ $\therefore OA=OB=OC$ সুতরাং $O$ কে কেন্দ্র করে $OA$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত বৃত্তটি $A$, $B$ ও $C$ বিন্দু তিনটি দিয়ে যাবে বা $OA=OB=OC$ হওয়ায় কেন্দ্র $O$ থেকে $A$, $B$ ও $C$ সমদূরবর্তী। সুতরাং এই বৃত্তটিই $\triangle ABC$ এর পরিব...

বৃত্ত (৮) পাঠ্য বাইয়ের উপপাদ্য, সম্পাদ্য, অনুসিদ্ধান্ত, কাজ ও অনুশীলনীর সমাধান লিখার উপর ক্লিক অথবা টাচ্ করলেই সমাধান পেয়ে যাবেন বৃত্ত (Circle)  উপপাদ্য ১৭  বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব।  উপপাদ্য ১৮  বৃত্তের সকল জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।  উপপাদ্য ১৯  বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।  অনুসিদ্ধান্ত ৩  বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। অনুশীলনী ৮.১  ১  প্রমাণ কর যে, দুইটি সমান্তরাল জ্যা এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা কেন্দ্রগামী এবং জ্যাদ্বয়ের উপর লম্ব।  ২  কোনো বৃত্তের $AB$ এবং $AC$ জ্যা দুইটি $A$ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে। প্রমাণ কর যে, $AB=AC$।  ৩  কোনো বৃত্ত একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে যায়। দেখাও যে, বৃত্তটির কেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দু।  ৪  দুইটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের একটি জ্যা $AB$ অপর বৃত্তকে $C$ ও $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, $AC=BD...

কোনো নির্দিষ্ট ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত আঁকতে হবে। মনে করি, $ABC$ একটি ত্রিভুজ। এর অন্তর্বৃত্ত আঁকতে হবে। অর্থাৎ, $\angle ABC$ এর ভিতরে এমন একটি বৃত্ত আঁকতে হবে, যা $BC$, $CA$ ও $AB$ বাহু তিনটির প্রত্যেকটিকে স্পর্শ করে। অঙ্কন : $\angle ABC$ ও $\angle ACB$ এর সমদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে $BL$ ও $CM$ আঁকি। মনে করি, তারা $O$ বিন্দুতে ছেদ করে। $O$ থেকে $BC$ এর ওপর $OD$ লম্ব আঁকি এবং মনে করি, তা $BC$ কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। $O$ কে কেন্দ্র করে $OD$ এর সমান ব্যসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। তাহলে, এই বৃত্তটিই নির্ণেয় অন্তর্বৃত্ত। প্রমাণ : $O$ থেকে $AC$ ও $AB$ এর ওপর যথাক্রমে $OE$ ও $OF$ লম্ব টানি। মনে করি, লম্বদ্বয় বাহুদ্বয়কে যথাক্রমে $E$ ও $F$ বিন্দুতে ছেদ করে। $O$ বিন্দু $\angle ABC$ এর দ্বিখণ্ডকের ওপর অবস্থিত। $\therefore OF=OD$ বাহু। অনুরূপভাবে, $O$ বিন্দু $\angle ACB$ এর দ্বিখণ্ডকের ওপর অবস্থিত বলে $OE=OD$ $\therefore OD=OE=OF$ সুতরাং $O$ কে কেন্দ্র করে $OD$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকলে তা $D$, $E$ ও $F$ বিন্দু দিয়ে যাবে। আবার, $OD$, $OE$ ...

কোনো নির্দিষ্ট ত্রিভুজের বহির্বৃত্ত আঁকতে হবে। মনে করি, $ABC$ একটি ত্রিভুজ। এর বহির্বৃত্ত আঁকতে হবে। অর্থাৎ, এমন একটি বৃত্ত আঁকতে হবে, যা ত্রিভুজের একটি বাহুকে এবং অপর দুই বাহুর বর্ধিতাংশকে স্পর্শ করে। অঙ্কন : $AB$ ও $AC$ বাহুদ্বয়কে যথাক্রমে $D$ ও $F$ পর্যন্ত বর্ধিত করি। $\angle DBC$ ও $\angle FCB$ এর সদ্বিখণ্ডক $BM$ ও $CN$ আঁকি। মনে করি, $E$ এদের ছেদবিন্দু। $E$ থেকে $BC$ এর ওপর $EH$ লম্ব আঁকি এবং মনে করি তা $BC$ কে $H$ বিন্দুতে ছেদ করে। $E$ কে কেন্দ্র করে $EH$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। তাহলে, এই বৃত্তটিই নির্ণেয় বহির্বৃত্ত। প্রমাণ :  $E$ থেকে $BD$ ও $CF$ রেখাংশের ওপর যথাক্রমে $EG$ ও $EL$ লম্ব টানি। মনে করি, লম্বদ্বয় $BD$ ও $CF$ রেখাংশদ্বয়কে যথাক্রমে $G$ ও $L$ বিন্দুতে ছেদ করে। $E$ বিন্দুটি $\angle DBC$ এর দ্বিখণ্ডকের ওপর অবস্থিত $\therefore EH=EG$ অনুরূপভাবে, $E$ বিন্দুটি $\angle FCB$ এর দ্বিখণ্ডকের ওপর অবস্থিত বলে $EH=EL$ $\therefore EH=EG=EL$ সুতরাং $E$ কে কেন্দ্র করে $EL$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত বৃত্ত $H$,...